Question

如圖拋物線過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M為 (2,4)；矩形ABCD頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3.     
【小題1】求該拋物線所對應的函數關系式；
【小題2】將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速從圖示位置沿x軸正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線交點為N
①當t=時，判斷點P是否在直線ME上，說明理由；
②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？說明理由．

Answer 1

【小題1】
【小題2】①不在，理由見解析。②S存在最大值.解析:

（2）①點P不在直線ME上.                              
根據拋物線的對稱性可知E點的坐標為(4,0)，
又M的坐標為(2,4)，設直線ME的關系式為y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直線ME的關系式為y="-2x+8." …………………………………………………4分
由已知條件易得，當t時，OA=AP，   ……………………5分
∵P點的坐標不滿足直線ME的關系式y=-2x+8.       
∴當t時，點P不在直線ME上.    ………………………………………6分          
② S存在最大值. 理由如下：                         
∵點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，
∴ OA=AP=t.
∴點P，N的坐標分別為(t,t)、(t,-t ²+4t)      
∴AN=-t ²+4t (0≤t≤3) ,