Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一點，且FD⊥BC于D點．

(1)試猜想∠EFD，∠B，∠C的關系，并說明理由；

(2)如圖②，當點F在AE的延長線上時，其余條件不變，(1)中的結論還成立嗎？說明理由．

①　　　　　　　　②

Answer 1

【答案】(1)∠EFD＝∠C－∠B.（）成立，理由見解析.

【解析】

先根據AE平分∠BAC推出∠BAE=∠BAC=[180°-（∠B+∠C）]，再根據外角的定義求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性質求出∠EFD=90°-∠FED．

解：(1)∠EFD＝∠C－∠B.

理由如下：由AE是∠BAC的平分線知∠BAE＝∠BAC.

由三角形外角的性質知∠FED＝∠B＋∠BAC，

故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.

在△ABC中，由三角形內角和定理得

∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，

即∠C＋∠B＋∠BAC＝90°②.

②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.

(2)成立．

理由如下：由對頂角相等和三角形的外角性質知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋∠BAC，

故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.

在△ABC中，由三角形內角和定理得：

∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠B＋∠BAC＋∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.