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已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)的頂點在直線上,且過點A(4,0).
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設拋物線的頂點為P,是否在拋物線上存在一點B,使四邊形OPAB為梯形?若存在,求出點B的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)設點C(1,-3),請在拋物線的對稱軸確定一點D,使|AD-CD|的值最大,請直接寫出點D的坐標.
【答案】分析:(1)利用待定系數法就可以求出這個拋物線的解析式,拋物線解析式為;
(2)在拋物線上存在一點B,使四邊形OPAB為梯形.當AP∥OB時,過點B作BH⊥x軸于H,則OH=BH,設點B(x,x),求出x=6,所以B(6,6);
(3)在拋物線的對稱軸確定一點D,使|AD-CD|的值最大,點C的坐標是(1,-3),要滿足|AD-CD|的值最大,則點D的坐標(2,-6).
解答:解:(1)∵拋物線過點(0,0)、(4,0),
∴拋物線的對稱軸為直線x=2.(1分)
∵頂點在直線上,
∴頂點坐標為(2,-2).(3分)
故設拋物線解析式為y=a(x-2)2-2,
∵過點(0,0),
,
∴拋物線解析式為;(5分)

(2)當AP∥OB時,
如圖,∠BOA=∠OAP=45°,過點B作BH⊥x軸于H,則OH=BH.
設點B(x,x),
,
解得x=6或x=0(舍去)(6分)
∴B(6,6).(7分)
當OP∥AB′時,同理設點B′(4-y,y)
,
解得y=6或y=0(舍去),
∴B′(-2,6);(8分)
∴B的坐標為(6,6)或(-2,6).

(3)D坐標應是(2,-6).(10分)
點評:本題是把求最值的問題轉化為函數問題,利用函數的性質求解.
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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點,且精英家教網與x軸的另一個交點為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點D的坐標和對稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

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已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

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2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點坐標為(2,-3),那么該拋物線有( 。

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精英家教網如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點P在x軸上,與y軸交于點Q,過坐標原點O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

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(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點A(1,0),頂點為B,且拋物線不經過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經過點B,且于該拋物線交于另一點C(
ca
,b+8
),求當x≥1時y1的取值范圍.

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