Question

如圖，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分別與AD、AE相交于點F、G，BF≠CG．
（1）圖中有那幾對不全等的相似三角形，請把他們表示出來．
（2）根據甲、乙兩位同學對圖形的探索，試探究BF、FG、GC之間的關系，并證明．
甲同學：把△ABF、△AGC分別沿AD、AE折疊，發現：B、C兩點重合．
乙同學：把△ABF繞點A旋轉，使AB、AC重合，發現：構造出了直角．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據相似三角形判定定理找出所有不全等的相似三角形的個數；
（2）方法（一）把△ABF、△AGC分別沿AD、AE折疊，利用三角形全等的知識證明∠FPG=∠B+∠C=90°，進而可以證明BF、FG、GC之間的關系；
方法（二）標出∠1、∠2、∠3、∠4，把△ABF旋轉至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知識證明∠ACP+∠ACB=90°，進而可以證明BF、FG、GC之間的關系；
解答：解：（1）共有3對，
△GAF∽△GAB；
△FAC∽△FGA；
△ABG∽△FAC；

（2）證明方法（一）
如圖1，把△ABF、△AGC分別沿AD、AE折疊，
得△ABF≌△APF，△ACG≌△APG，B、C兩點重合，
BF=FP，CG=GP，
∠FPG=∠B+∠C=90°，
在RT△PFG中，GF²=BF²+GC²；


證明方法（二）把△ABF旋轉至△ACP，得△ABF≌△ACP，
∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，
∠1+∠3=45°，
∠4+∠3=45°，
∠2=∠4+∠3=45°，
AG=AG，
△AFG≌△AGP，FG=GP，
∠ACP+∠ACB=90°，
在RT△PGG中，GF²=CG²+CP²，
GF²=BF²+GC²．
點評：本題主要考查幾何變換綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握旋轉知識，全等三角形的證明，此類題也是中考經常涉及的考題類型，此題難度不大．