Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，問：能否在Ab邊上找一點E，使E點與C、D的連線將此矩形分成三個彼此相似的三角形？若能找到，這樣的E點有幾個？若不能找到，請說明理由．

Answer 1

解：假設在AB邊上存在點E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，
又設AE=x，則，即，即得x²-bx+a²=0
∵△=b²-4a²=（b+2a）（b-2a），所以有
（1）若b+2a＞0，b-2a＜0，△＜0，方程無解，E點不存在；
（2）若b+2a＞0，當b=2a時，△=0，方程有等根，滿足條件的E點有且只有一個；
（3）若b+2a＞0，b-2a＞0，則當b＞2a時，△＞0，方程有兩個不相等的正根，滿足條件的E點有兩個，

分析：假設在AB邊上存在點E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又設AE=x，則，即，于是將問題轉化為關于x的一元二次方程是否有實根，在一定條件下有幾個實根的研究，通過構造方程解決問題．
點評：本題考查了一元二次方程的解的個數的判斷，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，本題中判斷△＞0，△＜0，△=0是解題的關鍵．