Question

如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，
（1）在圖1中，分別畫出點P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？
（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余條件都不變，請你判斷并寫出PE與PD之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）PF=PH=PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF=PH，
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG=PH，
∴PF=PH=PG；

（2）PE=PD．
證明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=∠ABC=45°，
過點P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分別為F、G，
則∠PFE=∠PGD=90°，
∵∠PDG為△ADC的一個外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+∠CAB=60°+15°=75°，
∵∠PEF是△ABE的一個外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+∠CBA=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE=∠PGD=90°，
由第一問得：PF=PG，
∴△PFE≌△PGD，
∴PE=PD．
分析：（1）PF、PG與PH，3條線段相等，理由為：因為AD為∠BAC的平分線，PF垂直于AC，PH垂直于AB，根據角平分線定理得到PF=PH，同理BE為∠ABC的平分線，PG垂直于BC，PH垂直于AB，得到PG=PH，等量代換即可得證；
（2）PE=PD，理由為：過P作PF垂直于AC，PG垂直于BC，由∠PDG為△ADC的一個外角，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角之和，得到∠PDG=∠C+∠CAD，又∠CAB=30°，AD為∠CAB的平分線得到∠CAD=∠CAB，求出∠PDG的度數，同理∠PEF是△ABE的一個外角，即可求出∠PEF的度數，發現兩角相等，再由垂直得到一對直角相等，由第一問得到PF=PG，根據“AAS”即可得到三角形PEF與三角形PDG全等，根據全等三角形的對應邊相等即可得證．
點評：此題綜合考查了角平分線定理，全等三角形的判定與性質，以及三角形的外角性質．遇到角平分線常常經過角平分線上的點作角兩邊的垂線，得到兩垂線段的長相等，此道題的兩問都是先實驗猜想，再探索證明，其目的是考查學生提出問題，解決問題的能力，這類題是近幾年中考試題的熱點試題．