Question

如圖，某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為7.2m，拱高CD為2.4m．
（1）求拱橋的半徑；
（2）現有一艘寬3m、船艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經過這里，問此貨船能順利通過拱橋嗎？

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理和勾股定理求解；
（2）連接ON，OB，通過求距離水面2米高處即ED長為2時，橋有多寬即MN的長與貨船頂部的3米做比較來判定貨船能否通過（MN大于3則能通過，MN小于等于3則不能通過）．先根據半弦，半徑和弦心距構造直角三角形求出半徑的長，再根據Rt△OEN中勾股定理求出EN的長，從而求得MN的長．

解答：解：（1）如圖，連接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D為AB中點，
∵AB=7.2m，
∴BD=

1

2

AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
設OB=OC=ON=r，則OD=（r-2.4）m．
在Rt△BOD中，根據勾股定理得：r²=（r-2.4）²+3.6²，
解得r=3.9．

（2）∵CD=2.4m，船艙頂部為長方形并高出水面AB=2m，
∴CE=2.4-2=0.4（m），
∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5（m），
在Rt△OEN中，EN²=ON²-OE²=3.9²-3.5²=2.96（m²），
∴EN=

2.96

（m）．
∴MN=2EN=2×

2.96

≈3.44m＞3m．
∴此貨船能順利通過這座拱橋．

點評：此題考查了垂徑定理的應用．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．