Question

菱形ABCD中，∠B=60°，延長BC到E，使得CE=BC，連接DE．
（1）如圖1，M是BC的中點，線段AM和ME之間的數量關系為

AM=

3

3

ME

．
（2）如圖2，P是直線AB上的任意一點，M是CP的中點，過點M作MF⊥AM交DE于點F，探究線段AM與MF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接AC．先證明△ABC是等邊三角形，得出AB=BC=AC，再根據等腰三角形三線合一的性質得出AM⊥BC，然后在Rt△ABM中，由正弦函數的定義得出AM=

3

2

AB，又AB=

2

3

ME，代入得出AM=

3

3

ME；
（2）如圖2，延長AM、DC，交于點Q，連接AC，在DE上截取DF′=CQ，連接AF′、QF′，先利用SAS證明△ADF′≌△ACQ，得出AF′=AQ，∠DAF′=∠CAQ，進而得到△AF′Q是等邊三角形，再利用AAS證明△PAM≌△CQM，再證明△AQF是等邊三角形，然后在Rt△AMF中，由正切函數的定義得出AM=

3

3

ME．

解答：解：（1）如圖1，連接AC．
∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，
∵M是BC的中點，
∴AM⊥BC，
∴AM=ABsin∠B=

3

2

AB．
∵ME=MC+CE=

1

2

BC+BC=

3

2

BC=

3

2

AB，
∴AB=

2

3

ME，
∴AM=

3

2

×

2

3

ME=

3

3

ME，即AM=

3

3

ME；

（2）如圖2，延長AM、DC，交于點Q，連接AC，在DE上截取DF′=CQ，連接AF′、QF′．
∵CE=BC=CD，∠DCE=∠B=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠E=60°．
在△ADF′與△ACQ中，

AD=AC ∠ADF′=∠ACQ=120° DF′=CQ

，
∴△ADF′≌△ACQ，
∴AF′=AQ，∠DAF′=∠CAQ．
∵∠F′AQ=∠F′AC+∠CAQ=∠F′AC+∠DAF′=∠DAC=60°，
∴△AF′Q是等邊三角形．
∵AB∥DQ，
∴∠PAM=∠CQM，∠APM=∠QCM．
在△PAM與△CQM中，

∠PAM=∠CQM ∠APM=∠QCM PM=CM

，
∴△PAM≌△CQM，
∴AM=QM，
∵AF′=QF′，
∴MF′⊥AM，
∵MF⊥AM，
∴F與F′重合，
∴△AQF是等邊三角形，
∴

AM

MF

=tan∠AFM=tan30°=

3

3

，
∴AM=

3

3

MF．
故答案為AM=

3

3

ME．

點評：此題主要考查了菱形的性質，等邊三角形、相似三角形、全等三角形的判定與性質，銳角三角函數的定義，垂線的性質，綜合性較強，有一定難度．（2）中準確作出輔助線，證明出△AQF是等邊三角形是解題的關鍵．