Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是AD邊上一動點，AE=m，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE．延長BG交直線CD于點F．

（1）若∠ABE：∠BFC=n，則n=；
（2）當E運動到AD中點時，求線段GF的長；
（3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）1：2
（2）解：當E運動到AD中點時，AE=DE= ，

由折疊得，DE=GE，∠EGF=∠D=90°，BG=AB=1，

根據DE=GE，EF=EF可得，Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），

∴DF=GF，

設DF=GF=x，則CF=1﹣x，

∵在Rt△BCF中，BC2+FC2=BF2，

∴12+（1﹣x）2=（1+x）2，

解得x= ，

∴線段GF的長為 ；

（3）解：若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，則

①如圖，當點F與點D重合時，AE=EG=GF=m，FE=1﹣m，

在Rt△EFG中，m2+m2=（1﹣x）2，

解得m=﹣ ﹣1（舍去），m= ﹣1；

②如圖，當點F與點C重合時，點E與點D重合，此時AE=AD=1，

∴m=1．

綜上，m的取值范圍是： ﹣1≤m≤1．

【解析】 解：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
由折疊得，∠ABF=2∠ABE，
∴∠BFC=2∠ABE，
∴∠ABE：∠BFC=1：2，
∴n=1：2，
故答案為：1：2；
（1）根據正方形的性質可得∠ABF=∠BFC，根據折疊可得∠ABF=2∠ABE，由此得出n的值即可；（2）先根據折疊的性質，判定Rt△EDF≌Rt△EGF，再設DF=GF=x，在Rt△BCF中運用勾股定理求得x的值即可；（3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，則分兩種情況進行討論：點F與點D重合，點F與點C重合，進而求得m的取值范圍．