Question

某商品的進價為每件40元，售價為每件60元時，每個月可賣出800件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣20件．設每件商品售價為x元，每個月的銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大銷售利潤？最大的月銷售利潤是多少元？
（3）物價部門規定每件商品的利潤率不高于100%，商家為了使每個月的銷售利潤不低于10000元，如何定價，商品的月銷售量最大？最大銷售量是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出每月的銷售量，然后根據總利潤=每件的利潤×銷售量可得出y與x的函數關系式．
（2）根據（1）所得的關系式，運用配方法求函數最值即可．
（3）根據利潤不低于10000可得出不等式，解出使x的值最小即可．
解答：解：（1）每月的銷售量為：800-20（x-60）件，每件的利潤為：60-40+x=20+x元，
∴y=[800-20（x-60）]（20+x）=-20x²+1600x+40000（60≤x＜80）；

（2）由（1）得，y=-20x²+1600x+40000=-20（x-40）²+72000，
又∵60≤x＜80，在此范圍內y隨x的增大而減小，
∴當x=60時獲得最大利潤，最大利潤為-20×20²+72000=64000元．

（3）因為利潤率不超過100%，
所以＜100%，
解得：x＜80，
由題意得，y=-20x²+1600x+40000≥10000，
解得：40-10≤x≤40+10，
由（1）得60≤x＜80，
∴當x取60時，商品的銷售量最大，最大量為800件．
點評：此題考查了二次函數的應用，解答本題的關鍵是得出y與x的二次函數關系式，要求我們熟練配方法求二次函數最值的知識，有一定難度．