Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，AB=4cm．點P從點A出發，沿AB以1cm/s的速度向終點B運動．當點P與點A、B不重合時，過點P作PQ⊥AB交射線AC于點Q，以AP，AQ為鄰邊向上作平行四邊形APMQ．設點P的運動時間為x（s），解答下列問題．

（1）∠A=　 　°；

（2）當點M在BC上時，x的值為　 　；

（3）設平行四邊形APMQ與△ABC的重疊部分圖形的面積為y（cm2），求y與x之間的函數關系式；

（4）整個運動過程中，直接寫出△ABM為直角三角形時x的值．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）；（4）或2

【解析】

（1）求出∠A的余弦值即可解決問題．

（2）利用平行線分線段成比例定理，構建方程求解即可．

（3）分三種情形：如圖1中，當0＜x≤時，重疊部分是平行四邊形APMQ．如圖3中，當＜x≤1時，重疊部分是五邊形APEFQ．如圖4中，當1＜x＜4時，重疊部分是四邊形APEC．分別求解即可解決問題．

（4）分兩種情形：①當∠AMB=90°，利用相似三角形的性質構建方程求解．②當∠ABM=90°時，利用三角形的中位線定理求解即可．

（1）如圖中，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2cm，AB=4cm，

∴cosA=，

∴∠A=60°，

故答案為：60．

（2）如圖2中，當點M落在BC上時，

由題意知，PA=xcm，

∵四邊形APMQ是平行四邊形，

∴PM=AQ=2AP=2x，

∵PM∥AC，

∴，

∴，

∴x=．

故答案為：．

（3）如圖1中，當0＜x≤時，重疊部分是平行四邊形APMQ，

在Rt△APQ中，∵∠AQP=30°，AP=x，

∴AQ=2x，PQ=x，

∴y=SAPMQ=AP×PQ=x2．

如圖3中，當＜x≤1時，重疊部分是五邊形APEFQ，AP=x，

∴AQ=PM=2x，PB=4﹣x，

∴PE=（4﹣x）．

∴EM=PM﹣PE=2x﹣（4﹣x）=x﹣2，

∴EF=（x﹣2）．

∴y=SAPMQ﹣S△EFM=x2﹣×（x﹣2）2=﹣x2+5x﹣2．

如圖4中，當1＜x＜4時，重疊部分是四邊形APEB，AP=x，

∴AQ=2x，BP=4﹣x，

∴PE=（4﹣x）．

∴BE=（4﹣x），

∴CE=2﹣（4﹣x）=x．

∴y=S四邊形ACEP=（PE+AC）CE= [（4﹣x）+2]×x=﹣x2+x．

綜上所述，y=．

（4）如圖5中，當∠AMB=90°時，設PQ交AM于F，

∵∠PAF=∠BAM，∠APF=∠AMB=90°，

∴△APF∽△AMB，

∴，

∵PA=x，PQ=x，PF=FQ=x，

∴AF=x，

∵四邊形APMQ是平行四邊形，

∴AM=2AF=x，

∴，

∴x=，（舍去）．

如圖6中，當∠ABM=90°時，設AM交PQ于F．

∵∠APF=∠ABM=90°，

∴PF∥BM，

∵AF=FM，

∴AP=PB=2，

∴x=2，

綜上所述，滿足條件的x的值為或2．