Question

已知：如圖，O為?ABCD的對角線BD上一點，過點O的直線l與?ABCD的一組對邊分別相交于點E、F，且OE=OF．
（1）試證明：點O為BD的中點．
（2）若直線l繞點O旋轉，那么在旋轉過程中，直線l與?ABCD的一組對邊（或它們的延長線）分別相交于點E′、F′，那么OE′=OF′是否恒成立？若成立，請畫出一種情形的圖形予以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：∵ABCD是平行四邊形，
∴∠EOD=∠FOB，∠DEO=∠BFO，
又∵OE=OF，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴OB=OD，即點O為BD的中點．

（2）OE′=OF′恒成立．
證明：旋轉后如圖所示：
∵ABCD是平行四邊形，
∴∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，
由（1）得OB=OD，
∴△E'OD≌△F'OB（ASA）．
∴OE′=OF′恒成立．
分析：（1）根據題意可得出∠EOD=∠FOB，∠DEO=∠BFO，從而結合題意利用ASA可證明△EOD≌△FOB，繼而可證得結論．
（2）在旋轉的過程中始終有∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，結合（1）的結論即可證明△E'OD≌△F'OB，這樣即可作出判斷．
點評：本題考查了平行四邊形的性質及全等三角形的判定，難度一般，解答本題的關鍵是根據平行四邊形對邊平行的性質得出∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，然后結合題意即可作出判斷．