Question

【題目】已知二次函數y＝ax2＋bx－2的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為(4，0)，且當x＝－2和x＝5時二次函數的函數值y相等．

(1)求實數a，b的值；

(2)如圖①，動點E，F同時從A點出發，其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動，點F以每秒個單位長度的速度沿射線AC方向運動．當點E停止運動時，點F隨之停止運動．設運動時間為t秒．連接EF，將△AEF沿EF翻折，使點A落在點D處，得到△DEF.

①是否存在某一時刻t，使得△DCF為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）①t＝或t＝ ，②.

【解析】試題分析：（1）根據拋物線圖象經過點A以及“當x=﹣2和x=5時二次函數的函數值y相等”兩個條件，列出方程組求出待定系數的值．

（2）①首先由拋物線解析式能得到點A、B、C三點的坐標，則線段OA、OB、OC的長可求，進一步能得出AB、BC、AC的長；首先用t 表示出線段AD、AE、AF（即DF）的長，則根據AE、EF、OA、OC的長以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一個直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三種情況討論：

i）點C為直角頂點，由于△ABC恰好是直角三角形，且以點C為直角頂點，所以此時點B、D重合，由此得到AD的長，進而求出t的值；

ii）點D為直角頂點，此時∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD，再得到AD的長后可求出t的值；

iii）點F為直角頂點，當點F在線段AC上時，∠DFC是銳角，而點F在射線AC的延長線上時，∠DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意．

②此題需要分三種情況討論：

i）當點E在點A與線段AB中點之間時，兩個三角形的重疊部分是整個△DEF；

ii）當點E在線段AB中點與點O之間時，重疊部分是個不規則四邊形，那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得；

iii）當點E在線段OB上時，重疊部分是個小直角三角形．

試題解析：解：（1）由題意得： ，解得：a=，b=．

（2）①由（1）知二次函數為.∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C（0，﹣2），∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC=，BC=，∴AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°．

∵AE=2t，AF=t，∴.

又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF沿EF翻折后，點A落在x軸上點D處；

由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=AE=t．

假設△DCF為直角三角形，當點F在線段AC上時：

ⅰ）若C為直角頂點，則點D與點B重合，如圖2，∴AE=AB=t=÷2=；

ⅱ）若D為直角頂點，如圖3．∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．

∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．

∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE=，∴t=；

當點F在AC延長線上時，∠DFC＞90°，△DCF為鈍角三角形．

綜上所述，存在時刻t，使得△DCF為直角三角形，t=或t=．

②ⅰ）當0＜t≤時，重疊部分為△DEF，如圖1、圖2，∴S=×2t×t=t2；

ⅱ）當＜t≤2時，設DF與BC相交于點G，則重疊部分為四邊形BEFG，如圖4，過點G作GH⊥BE于H，設GH=m，則BH= ，DH=2m，∴DB=．

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴m=（4t﹣5），

∴S=S△DEF﹣S△DBG=×2t×t﹣（4t﹣5）×（4t﹣5）=；

ⅲ）當2＜t≤時，重疊部分為△BEG，如圖5．

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），∴S=×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．

綜上所述： ．