Question

【題目】如圖，點D是⊙O上一點，直線AE經過點D，直線AB經過圓心O，交⊙O于B,C兩點，CE⊥AE，垂足為點E,交⊙O于點F，∠BCD=∠DCF

(1)求∠A+∠BOD的度數；

(2)若sin∠DCE=,⊙O的半徑為5，求線段AB的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由OC=OD，得出∠OCD=∠ODC，而∠BCD=∠DCF，等量代換得到∠ODC=∠DCF，那么OD∥CE，由CE⊥AD，得出OD⊥AD，所以∠A+∠BOD=90°；

（2）連接BD．由圓周角定理得出∠BDC=90°，解直角△BCD，求出BD=6，CD==8．再解Rt△DCE，求出DE=，EC=．再由DO∥EC，得出，即，即可求出AB=．

（1）∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠BCD=∠DCF，

∴∠ODC=∠DCF，

∴OD∥CE，

∵CE⊥AD，

∴OD⊥AD，

∴∠A+∠BOD=90°；

（2）連接BD，如圖．

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∵∠BCD=∠DCF，sin∠DCE=，

∴sin∠BCD=，

∵⊙O的半徑為5，

∴BC=10，

∴BD=6，

∴CD==8．

在Rt△DCE中，sin∠DCE=，

∴DE=，

∴EC=．

∵DO∥EC，

∴，即，

∴AB=．