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【題目】尺規作圖：已知△ABC，如圖．

（1）求作：△ABC的外接圓⊙O；

（2）若AC＝4，∠B＝30°，則△ABC的外接圓⊙O的半徑為　　．

【答案】（1）答案見解析；（2）4．

【解析】

（1）確定三角形的外接圓的圓心，根據其是三角形邊的垂直平分線的交點進行確定即可；

（2）連接OA，OC，先證明△AOC是等邊三角形，從而得到圓的半徑．

解：（1）作法如下：

①作線段AB的垂直平分線，

②作線段BC的垂直平分線，

③以兩條垂直平分線的交點O為圓心，OA長為半圓畫圓，則圓O即為所求作的圓；

（2）連接OA，OC，

∵∠B＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∵OA＝OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∵AC＝4，

∴OA＝OC＝4，即圓的半徑是4，

故答案為4．

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【題目】（定義）在平面直角坐標系中，對于函數圖象的橫寬、縱高給出如下定義：當自變量x在范圍內時，函數值y滿足．那么我們稱b-a為這段函數圖象的橫寬，稱d-c為這段函數圖象的縱高．縱高與橫寬的比值記為k即：．

（示例）如圖1，當時；函數值y滿足，那么該段函數圖象的橫寬為2-（-1）=3，縱高為4-1=3．則．

（應用）（1）當時，函數的圖象橫寬為，縱高為；

（2）已知反比例函數，當點M(3，4)和點N在該函數圖象上，且MN段函數圖象的縱高為2時，求k的值．

（3）已知二次函數的圖象與x軸交于A點，B點．

①若m=1，是否存在這樣的拋物線段，當()時，函數值滿足若存在，請求出這段函數圖象的k值；若不存在，請說明理由．

②如圖2，若點P在直線y=x上運動，以點P為圓心，為半徑作圓，當AB段函數圖象的k=1時，拋物線頂點恰好落在上，請直接寫出此時點P的坐標．

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(1)請用列表或畫樹形圖的方法（只選其中一種），表示兩次抽出卡片上的數字的所有結果；

(2)將第一次抽出的數字作為點的橫坐標x，第二次抽出的數字作為點的縱坐標y，求點（x，y）落在雙曲線上的概率．

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【題目】關于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有兩個實數根α，β（α＜β），則下列選項正確的是（　　）

A. 3＜α＜β＜5 B. 3＜α＜5＜β C. α＜2＜β＜5 D. α＜3且β＞5

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（1）試求拋物線的解析式；

（2）點D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BC，BD．試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請求出點P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

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①試判斷四邊形AMA′N的形狀并說明理由；

②求AM、MN的長；

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（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

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