Question

我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．事實上，勾是三時，股和弦的算式分別是；勾是五時，股和弦的算式分別是．根據你發現的規律，分別寫出勾是七時，股和弦的算式；
（2）根據（1）的規律，請用含n（n為奇數，且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關系（請寫出兩種），并對其中一種猜想加以證明；
（3）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數，且m＞4）的代數式來表示股和弦．

Answer 1

解：（1）；

（2）當n≥3，且n為奇數時，勾、股、弦分別為：n，
它們之間的關系為：（ⅰ）弦-股=1，（ⅱ）勾²+股²=弦²
如證明（ⅰ），弦-股=；

（3）當m＞4，且m為偶數時，勾、股、弦分別為：m，，它們的股和弦．
分析：（1）根據推論即可發現：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中發現的關系運用字母表示即可，然后發現勾、股、弦之間的關系，并驗證；
（3）發現：股和弦總是相差為2．主要是考慮勾和股之間的關系即是勾的一半的平方再減1．
點評：能夠根據具體數字發現規律，用字母表示推廣到一般．