Question

如圖，邊長為20的正方形ABCD截去一角成為五邊形ABCEF，其中DE=10，DF=5，若點P在線段EF上使矩形PMBN有最大面積時，則PE的長度為    ．

Answer 1

【答案】分析：延長NP交ED于G點，設PG=x，先由PG∥DF，得出△EPG∽△EFD，根據相似三角形的性質得出EG=2x，MP=10+2x，進而得到S_矩形PNBM是x的二次函數，再根據二次函數的性質得出矩形PMBN有最大面積時PG的值，從而求出此時PE的長度．
解答：解：如圖1，延長NP交ED于G點，
設PG=x，則PN=20-x，
∵PG∥DF，
∴△EPG∽△EFD，
∴PG：DF=EG：ED，
即EG：10=x：5，
∴EG=2x，
∴MP=CG=CE+EG=10+2x，
∴S_矩形PNBM=PM•PN=（10+2x）（20-x）=-2x²+30x+200=-2（x-）²+（0≤x≤5），
∵-2＜0，PG=x≤DF=5，
∴當x=5時，S_矩形PNBM有最大值300．
當PG=5時，如圖2，此時P與F重合．
在△PDE中，∠PDE=90°，PD=5，DE=10，
由勾股定理，得PE==5．
故答案為5．
點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，二次函數最值的求法，綜合性較強，有一定難度．本題根據相似三角形的性質得出EG=2x，進而得到S_矩形PNBM是x的二次函數是解題的關鍵．