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如圖,AB是⊙O的切線,切點為A,OB與⊙O交于C,且點C為OB的中點,過C點作弦CD使∠ACD=45°,弧AD的長為π,則以AD和AC的長為兩根的一元二次方程是( )

A.x2-(2+)x+2=0
B.x2-(2+)x-2=0
C.x2-(2-)x+2=0
D.x2-(2-)x-2=0
【答案】分析:連OA、OD,設⊙O半徑為R,根據圓周角定理得到∠AOD=2∠ACD=90°,則△AOD為等腰直角三角形,再利用弧長公式有=π,解得R=,則AD=OD=×=2,然后根據切線的性質得OA⊥AB,即∠OAB=90°,而點C為OB的中點,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AC=BC=OC=,根據根與系數的關系可得以2和為根的一元二次方程可為(x-2)(x-)=0,化為一般式為:x2-(2+)x+2=0.
解答:解:連OA、OD,如圖,設⊙O半徑為R,
∵∠ACD=45°,
∴∠AOD=2∠ACD=90°,則△AOD為等腰直角三角形,
∴弧AD的長=,
而弧AD的長為π,
=π,解得R=,
∴AD=OD=×=2,
又∵AB是⊙O的切線,
∴OA⊥AB,即∠OAB=90°,
∵點C為OB的中點,
∴AC=BC=OC=,
∴以2和為根的一元二次方程可為(x-2)(x-)=0,
化為一般式為:x2-(2+)x+2=0.
故選A.
點評:本題考查了切線的性質:圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了圓周角定理、弧長公式、直角三角形斜邊上的中線性質以及一元二次方程根與系數的關系.
練習冊系列答案
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12、已知,如圖,AB是⊙O的直徑,DC切⊙O于點C,AB=2BC,則∠BCD=
30
度.

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精英家教網如圖,AB是⊙O的直徑,點C在AB的延長線上,CD切⊙O于點D,過點D作DF⊥AB于點E,交⊙O于點F,OE=1cm,DF=2cm,則CB的長為( 。
A、4-
5
B、5-
5
C、2
5
D、4

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如圖,AB是半圓的直徑,O是圓心,C是AB延長線上一點,CD切半圓于D,DE⊥AB于E.已知AE:EB=4:1,CD=2,求BC的長.精英家教網

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21、如圖,AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.

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如圖,AB是半圓的直徑,直線MN切半圓于點C,AM⊥MN,BN⊥MN,如果AM=a,BN=b,那么半圓的直徑為
a+b
a+b

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同步練習冊答案
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