Question

（a）在一次考試中，已知至少有三分之二的題目屬于難題．在這些難題中，每一道題至少有三分之二的學生不會作．請問下列情況是否可能發(fā)生：至少答對三分之二題數(shù)的學生人數(shù)不少于全部考生人數(shù)的三分之二．
（b）承（a），若將其中所有的“三分之二”換成“四分之三”呢？
（c）承（a），若將其中所有的“三分之二”換成“十分之七”呢？

Answer 1

解：（a）假定簡單題那三分之一全班都做出來了，那么問題就變成：是否可能對于所有的難題，至少有三分之二的學生答對了這所有的難題的一半．因為每一道難題至少有三分之二的學生不會作，也就是至多有三分之一的學生會做，不妨設會做的一定能答對，那么就是至多有三分之一的學生能答對．取最大可能，就是對于每一道難題，總會有三分之一的學生能答對．
所以，對于n道難題，將n平分到兩個學生的群體中（即的學生平分為兩組），每組都答對了道題，即答對了所有的難題的一半．
綜上，“至少答對三分之二題數(shù)的學生人數(shù)不少于全部考生人數(shù)的三分之二”是可能發(fā)生的，
對于（b），（c），用同樣的方法可以得到結(jié)果：都不會發(fā)生；
對于小于的情況，都有可能；
對于大于的情況，都不可能，（b），（c）就屬于這一類．
分析：（a）由于題目中未知條件較多，故假定簡單題那三分之一全班都做出來了，將問題轉(zhuǎn)化化為“是否可能對于所有的難題，至少有三分之二的學生答對了這所有的難題的一半”，再進行推理．
（b）、（c）與（1）類似．
點評：此題考查了可能性的大小，解題關鍵是用假設法得出滿足條件的最大可能情況，從而進行判斷．