Question

（2011•南開區一模）如圖，在Rt△ABC中，已知：∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜邊AB的中點P為旋轉中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉90°得到Rt△A′B′C′，則旋轉前后兩個直角三角形重疊部分的面積為    cm²．

Answer 1

【答案】分析：根據已知及勾股定理求得DP的長，再根據全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD，從而根據直角三角形的性質求得GH，BG的長，從而不難求得旋轉前后兩個直角三角形重疊部分的面積．
解答：解：在直角△DPB中，BP=AP=AC=3，
∵∠A=60°，
∴DP²+BP²=BD²，
∴x²+3²=（2x）²，
∴DP=x=，
∵B′P=BP，∠B=∠B′，∠B′PH=∠BPD=90°，
∴△B′PH≌△BPD，
∴PH=PD=，
∵在直角△BGH中，BH=3+，
∴GH=，BG=，
∴S_△BGH=××=，S_△BDP=×3×=，
∴S_DGHP==cm²．
點評：此題考查勾股定理，三角形的全等的判定及性質，旋轉的性質等知識的綜合運用．