Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切．
（1）求證：OB⊥OC；
（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O₁與半⊙O外切，并與BC、CD相切，求⊙O₁的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明兩個銳角的和等于90°即可；
（2）求得⊙O₁的半徑后代入圓的面積公式求得其面積即可．
解答：（1）證明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切，
∴AB，BC，CD均與半圓O相切，
∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．
又∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．
∴2∠CBO+2∠BCO=180°，
于是∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°，
即OB⊥OC．

（2）解：設CD切⊙O₁于點M，連接O₁M，則O₁M⊥CD．
設⊙O₁的半徑為r．
∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O₁CM，
∴∠O₁CM=30°．
在Rt△O₁CM中，CO₁=2r，O₁M=r．
在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．
∵⊙O₁與半圓O外切，
∴OO₁=6+r，于是，
由OO₁+O₁C=OC，即6+r+2r=12，
解得r=2，
因此⊙O₁的面積為4π．
點評：本題考查了相切兩圓的性質及直角梯形的性質，解題的關鍵是根據相切兩圓半徑只間的關系確定兩圓心之間的距離．