Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線頂點N的坐標為（），此拋物線交y軸于B（0，-4），交x軸于A、C兩點且A點在C點左邊．
（1）求拋物線解析式及A、C兩點的坐標．
（2）如果點M為第三象限內拋物線上一個動點且它的橫坐標為m，設△AMB的面積為S，求S關于m的函數關系式并求出S的最大值．
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=x上的動點，判斷有幾個位置使得以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設出拋物線解析式，根據題意拋物線交y軸于B（0，-4），求出拋物線解析式，再根據拋物線的特點求出它的橫坐標，即可求出A和C的坐標；
（2）先作MT⊥x軸于T，再設M（m，n），得出AT、MT、TO、BO的值，即可得出S_AMBO的值，再根M點在拋物線上，求出S_AMBO的值，然后求出S與m的函數關系式，得出拋物線開口向下，即可求出S的最大值；
（3）根據（2）的相應的條件，可以直接得出點此時Q的坐標；
解答：解：（1）設拋物線解析式為：
∵拋物線交y軸于B（0，-4）
∴，
∴
∴拋物線解析式為：
或
令y=0得：，
解得：x₁=-4，x₂=2
∴A（-4，0），C（2，0）；

（2）作MT⊥x軸于T，設M（m，n），
則AT=m+4，MT=-n，TO=-m，BO=4．
∴S_AMBO=
∵M（m，n）在拋物線上，
∴
∴S_AMBO=
∵S_△AOB=，
∴S與m的函數關系式為：S=-m²-4m
∵S為m的二次函數且-1＜0，
∴拋物線開口向下，
∴S的最大值為；

（3）因為點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=x上的動點，
所以相應的點Q的坐標為：有兩個位置滿足條件，此時點Q的坐標為（4，4），（-4，-4）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．