Question

在學習勾股定理時，我們學會運用圖（I）驗證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為：（a+b）²，也可表示為：c²+4·（ab），即（a+b）²=c²+4·（ab）由此推出勾股定理a²+b²=c²，這種根據圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱“無字證明”。

（1）請你用圖（II）（2002年國際數字家大會會標）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形全等）；
（2）請你用（III）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證（x+y）²=x²+2xy+y²；
（3）請你自己設計圖形的組合，用其面積表達式驗證：（x+p）（x+q）=x²+px+qx+pq=x²+（p+q）x+pq。

Answer 1

解：（1）大正方形的面積為：c²，中間空白部分正方形面積為：，
四個陰影部分直角三角形面積和為：，由圖形關系可知：大正方形面積=空白正方形面積+四直角三角形面積，即有==；
（2）如圖示：大正方形邊長為（x+y），所以面積為：，它的面積也等于兩個邊長分別為x，y和兩個長為x寬為y的矩形面積之和，即，
所以有成立；
（3）如圖示：大矩形的長、寬分別為（x+p），（x+q），則其面積為：（x+p）·（x+q），從圖形關系上可得大矩形為一個邊長為x的正方形和三個小矩形構成的則其面積又可表示為：，則有：。