Question

如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y＝ (k＞0)經過邊OB的中點C和AE的中點D．已知等邊△OAB的邊長為4．

(1)求該雙曲線所表示的函數解析式；

(2)求等邊△AEF的邊長．

Answer 1

考點：    反比例函數綜合題。

專題：    代數幾何綜合題。

分析：    (1)過點C作CG⊥OA于點G，根據等邊三角形的性質求出OG、CG的長度，從而得到點C的坐標，再利用 待定系數法求反比例函數解析式列式計算即可得解；

(2)過點D作DH⊥AF于點H，設AH＝a，根據等邊三角形的性質表示出DH的長度，然后表示出點D的坐標，再把點D的坐標代入反比例函數解析式，解方程得到a的值，從而得解．

解答：    解：(1)過點C作CG⊥OA于點G，

∵點C是等邊△OAB的邊OB的中點，

∴OC＝2，∠ A OB＝60°，

∴OG＝1，CG＝ ，

∴點C的坐標是(1， )，

由 ＝ ，得：k＝ ，

∴該雙曲線所表示的函數解析式為y＝ ；

(2)過點D作DH⊥AF于點H，設AH＝a，則DH＝ a．

∴點D的坐標為(4＋a， )，

∵點D是雙曲線y＝ 上的點，

由xy＝ ，得 (4＋a)＝ ，

即：a2＋4a－1＝0，

解得：a1＝ －2，a2＝－ －2(舍去)，

∴AD＝2AH＝2 －4，

∴等邊△AEF的邊長是2AD＝4 －8．

點評：    本題是對反比例函數的綜合考查，包括待定系數法求反比例函數解析式，等邊三角形的性質，解一元二次方程，難度不大，作出輔助線，表示出點C、D的坐標是解題的關鍵．