Question

【題目】如圖，點B（a，b）在第一象限，過B作BA⊥y軸于A，過B作BC⊥x軸于C，且實數a、b滿足（a-b-2）2+|2a+b-10|≤0，含45角的Rt△DEF的一條直角邊DF與x軸重合，DE⊥x軸于D，點F與坐標原點重合，DE=DF=3．△DEF從某時刻開始沿著坐標軸以1個單位長度每秒的速度勻速運動，運動時間為t秒．

（1）求點B的坐標；

（2）若△DEF沿著y軸負方向運動，連接AE，EG平分∠AEF，EH平分∠AED，當EG∥DF時，求∠HEF的度數；

（3）若△DEF沿著x軸正方向運動，在運動過程中，記△AEF與長方形OABC重疊部分的面積為S，當0＜t≤4，S=時，請你求出運動時間t．

Answer 1

【答案】（1）B（4，2）；（2）∠HEF==22.5°；（3）t=1或4s.

【解析】

（1）利用非負數的性質即可解決問題；

（2）當EG∥DF時，只要證明∠AWED=135°，即可解決問題；

（3）分兩種情形①如圖2中，當0＜t＜2時，重疊部分是△APF，S=（2-t）t=t-t2，②如圖3中，當2＜t≤4時，重疊部分是△PAF，S=（t-2）2=t-2，分別構建方程即可解決問題；

解：（1）∵（a-b-2）2+|2a+b-10|≤0，

又∵（a-b-2）2≥0，|2a+b-10|≥0，

∴，

解得，

∴B（4，2）．

（2）如圖1中，設EG交y軸于N．

當EG∥DF時，∠NEF=∠EFD=45°，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEN=45°，

∵DE∥FN，EN∥DF，

∴四邊形DENF是平行四邊形，

∵∠EDF=90°，DE=DF，

∴四邊形DENF是正方形，

∴∠DEN=90°，

∴∠AED=135°，

∵EH平分∠AED，

∴∠DEH=×135°=67.5°，

∵∠DEF=45°，

∴∠HEF=∠DEH-∠DEF=22.5°．

（3）①如圖2中，當0＜t＜2時，重疊部分是△APF，S=（2-t）t=t-t2，

由題意：t-t2=t，

解得t=1，．

②如圖3中，當2＜t≤4時，重疊部分是△PAF，S=（t-2）2=t-2，

由題意：t-2=t，解得t=4，

綜上所述，當t=1或4s時，滿足條件，S=t．