Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）設OE交⊙O于點F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、線段CE和BE所圍成的圖形面積S．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OC，易證得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE=∠OBE=90°，證得BE與⊙O相切；
（2）首先設OC=x，則OD=OF-DF=x-1，易求得OC的長，即可得∠BOC=120°，又由S=S_{四邊形OBFC}-S_扇形OBC求得答案．
解答：（1）證明：連接OC，
∵CE是⊙O的切線，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠EOC=∠EOB，
∵在△EOC和△EOB中，
，
∴△COE≌△BOE（SAS），
∴∠OCE=∠OBE=90°，
即OB⊥BE，
∴BE與⊙O相切；

（2）解：∵OD⊥BC，
∴CD=BC=×2=，
設OC=x，則OD=OF-DF=x-1，
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²，
∴x²=（x-1）²+（）²，
解得：x=2，
∴OC=2，∠COD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴CF=OC•tan60°=2，
∴S=S_{四邊形OBFC}-S_扇形OBC=2S_△OCE-S_扇形OBC=2××2×2-×π×2²=4-π．
點評：此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．