Question

如圖，一只蜘蛛結了一張很大的網，直線MN、PQ與x軸所夾的銳角都為60°，第1個結點A₁在原點上，此后各個結點均按逆時針排列，同一直線上相鄰兩個結點之間的距離都是1個單位長，那么第91個結點A₉₁的坐標為

 

．

Answer 1

分析：根據已知條件得出第91個結點A₉₁為第十五個正六邊形，交QP于點A₉₁且在x軸下方，再根據特殊角的三角函數值即可得出點A₉₁的坐標．

解答：解：∵第1個結點A₁在原點上，此后各個結點均按逆時針排列，并且組成的為正六邊形，
∴A₁+6x=91，解得x=15，
∴第91個結點A₉₁為第十五個正六邊形，交QP于點A₉₁且在x軸下方，
∴A₁A₉₁的長度為15，
∵PQ與x軸所夾的銳角都為60°，
∴cos60°=

x

15

=

1

2

，得出x=

15

2

，
cos30°=

y

15

=

3

2

，得出y=

15

2

3

，
∵所交點在x軸下方，
∴點A₉₁的坐標為（

15

2

，-

15

2

3

），
故答案為（

15

2

，-

15

2

3

）．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，利用特殊角的三角函數值即可得出結果，難度較大．