Question

已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD交于O點，分別過B、C作AC、BD的平行線，交點為E．
①試判斷四邊形OBEC的形狀，并證明你的結論；
②對角線AC、BD滿足什么條件時，四邊形OBEC是正方形？

Answer 1

解：①∵AC∥BE，BD∥CE，
∴四邊形OBEC是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，AB=CD，∠ABC=∠DCB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴四邊形OBEC是菱形；

②當AC、BD滿足互相垂直的條件時，四邊形OBEC是正方形．
分析：①先根據AC∥BE，BD∥CE，證出四邊形OBEC是平行四邊形，再根據四邊形ABCD是等腰梯形，證出OB=OC，即可得出四邊形OBEC是菱形；
②根據正方形的判定即可得出答案．
點評：此題考查了等腰梯形的性質，用到的知識點是菱形、全等三角形的判定、等腰梯形的性質，關鍵是綜合應用有關性質．