Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點坐標為O（0，0），A（2

3

，0），B（2

3

，2），把矩形OABC繞點O逆時針方向旋轉α度，使點B正好落在y軸正半軸上，得到矩形OA₁B₁C₁．
（1）求角α的度數；
（2）求直線A₁B₁的函數關系式，并判斷直線A₁B₁是否經過點B，為什么？

Answer 1

分析：（1）由于A（2

3

，0），B（2

3

，2），根據旋轉知道A₁B₁=AB，OA=OA₁，然后利用三角函數可以求出∠A₁OB₁的度數，再求出α的度數；
（2）利用勾股定理求出OB的長度，也就求出了B₁O的長度，利用α的度數可以求出A₁的坐標，再利用待定系數法求出直線A₁B₁的函數關系式，也可以判斷直線A₁B₁是否經過點B．

解答：解：（1）∵A（2

3

，0），B（2

3

，2），
∴A₁B₁=AB=2，OA=OA₁=2

3

，
∴tan∠A₁OB₁=A₁B₁：OA₁=2：2

3

=1：

3

，
∴∠A₁OB₁=30°，
∴α=60°；

（2）在Rt△A₁B₁O中，B₁O=

OA12+A1B12

=4，
∴B₁的坐標為（0，4），
如圖過A₁作A₁E⊥OA于E，
∵α=60°，
∴A₁E=3，OE=

3

，
∴A（

3

，3），
設直線A₁B₁的解析式為y=kx+b，
依題意得

4=b 3= 3 k+b

，
∴k=-

3

3

，b=4，
∴y=-

3

3

x+4．
而B（2

3

，2），
代入解析式中，左邊=2，右邊=-

3

3

×2

3

+4=2；
左邊=右邊，
∴直線A₁B₁經過點B．

點評：此題把一次函數與矩形相結合，考查了同學們綜合運用所學知識的能力，是一道綜合性較好的題目．其中求α的度數是解題的突破口．