Question

如圖．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，將矩形ABCD繞D點順時針旋轉90° 得矩形A′B′C′D，再將矩形A′B′C′D繞C′順時針旋轉90°得矩形A″B″C′D′．
（1）求兩次旋轉點A經歷的軌跡的總長度；
（2）求陰影部分①的面積；
（3）求陰影部分②的面積（在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么它所對的角等于30度．）．

Answer 1

分析：（1）連接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC，利用勾股定理求出AC的長，由旋轉可知AC=A′C′=A″C′，然后利用SAS證明△AB′C′≌△C′D′A″，根據全等三角形的對應角相等及同角的余角相等，可得∠A′C′A″=90°，由圖形可知兩次旋轉點A經歷的軌跡的總長度為

AA′

和

A′A″

兩弧長之和，利用弧長公式求出即可；
（2）陰影部分①的面積利用扇形A′C′A″的面積減去△AB′C′的面積，再減去△C′D′A″的面積，由△AB′C′≌△C′D′A″，且兩三角形面積之和為矩形ABCD的面積，故利用扇形的面積公式及矩形的面積公式求出即可；
（3）由ED=2，CD=1，三角形ECD為直角三角形，根據在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么它所對的角等于30度可得∠ADE=∠CED=30°，陰影部分②的面積等于扇形AED的面積加三角形ECD的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式求出即可．

解答：解：（1）連接AC，在Rt△ABC中，
∵AB=1，BC=2，
∴根據勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

5

，
由旋轉可知A′C′=A″C″=

5

，A′D=AD=BC=2，
又A′B′=C′D′，∠A′B′C′=∠A″D′C′=90°，B′C′=D′A″，
∴△AB′C′≌△C′D′A″（SAS），
∴∠AC′B′=∠C′A″D′，又∠C′A″D′+∠D′C′A″=90°，
∴∠C′A″D′+∠AC′B=90°，即∠A′C′A″=90°，
則兩次旋轉點A經歷的軌跡的總長度為

AA′

+

A′A″

=

90π×2

180

+

90π× 5

180

=π+

5

2

π；

（2）∵△AB′C′≌△C′D′A″，且兩三角形面積都為矩形面積的一半，
∴陰影部分①的面積S=S_{扇形A′C′A″}-2S_△AB′C′
=S_{扇形A′C′A″}-S_矩形=

90π×( 5 )2

360

-1×2=

5

4

π-2；

（3）∵ED=A′D=AD=BC=2，CD=AB=1，且∠ECD=90°，
∴∠CED=30°，又BC∥AD，
∴∠ADE=30°，
又在Rt△ECD中，ED=2，CD=1，
根據勾股定理得：EC=

ED2-CD2

=

3

，
則陰影部分②的面積S=S_扇形ADE+S_△ECD=

30π×22

360

+

1

2

×

3

×1=

1

3

π+

3

2

．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩個圖形全等，即對應角相等，對應線段相等；也考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理的逆定理，扇形面積的求法，以及弧長的計算，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．