Question

已知：如圖，∠AOB=90°，D、C將

AB

三等分，弦AB與半徑OD、OC交于點F、E，求證：AE=DC=BF．

Answer 1

分析：由∠AOB=90°，D、C將

AB

三等分，得到∠1=∠2=∠3=30°，并且CD=BD，∠A=∠OBF=45°，可證得△OAE≌△OBF，則AE=BF；
由OB=OD，∠3=30°，可求出∠5=

1

2

（180°-30°）=75°，而∠4=∠3+∠OBF=30°+45°=75°，因此得到BF=BD；所以AE=DC=BF．

解答：解：連BD，如圖
∵∠AOB=90°，D、C將

AB

三等分，
∴∠1=∠2=∠3=30°，并且CD=BD，
又∵OA=OB，
∴∠A=∠OBF=45°，
∴△OAE≌△OBF，
∴AE=BF；
又∵OB=OD，∠3=30°，
∴∠5=

1

2

（180°-30°）=75°，
而∠4=∠3+∠OBF=30°+45°=75°，
∴BF=BD；
而CD=DB，AE=BF，
所以AE=DC=BF．

點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了等腰三角形的性質、三角形的內角和定理以及三角形全等的判定與性質．