Question

如圖，在邊長為4的正方形中，點在上從向運動，連接交

于點．

⑴試證明：無論點運動到上何處時，都有△≌△；

⑵當點在上運動到什么位置時，△的面積是正方形面積的；

⑶若點從點運動到點，再繼續在上運動到點，在整個運動過程中，當點 運動到什么位置時，△恰為等腰三角形．

 

Answer 1

【答案】

⑴證明：在正方形中，無論點運動到上何處時，都有

=  ∠=∠  =  ∴△≌△

⑵△的面積恰好是正方形ABCD面積的時，

過點Q作⊥于,⊥于，

則 =

==            ∴= 

由△ ∽△得        解得

∴時，△的面積是正方形面積的

⑶若△是等腰三角形，則有 =或=或=

①當點運動到與點重合時，由四邊形是正方形知  =

此時△是等腰三角形

②當點與點重合時，點與點也重合，此時=, △是等腰三角形

③：如圖，

設點在邊上運動到時，有=

∵ ∥       ∴∠=∠

又∵∠=∠  ∠=∠

∴∠=∠   ∴ ==

∵=    =  =4   ∴

即當時，△是等腰三角形.

【解析】（1）兩邊一角 AQ=AQ ，AB=AD=4，∠DAQ=∠BAQ=45度 所以兩個三角形全等。

（2）做QE垂直于AD， △DQE相似于△DPA ，△ADQ面積=ADQE/2，正方形面積=ADAB，△ ADQ的面積是正方形面積的1/6， 則QE=AB/3=4/3，△AQE是等腰直角三角形，則AQ=QE=4/3，DQ=AD-AQ=8/3， △DQE相似△DPA中， DQ/AD=QE/AP，帶入數據得：8/3 /4= 4/3 /AP，故AP=2，因為AB=4 則P點正好運動到AB的中點

（3）假設△ADQ恰好為等腰三角形：:P在 ABC上運動 首先當AD=QD=4時 Q與C點剛好重合 所以P運動到C點 △ADQ為等腰三角形；當P運動到B點時，AQ=QD △ADQ為等腰直角三角形；當AD=AQ=4時，△ADQ與△CPQ相似，則PC=CQ=AC-AQ= -4，則P運動到距離C點 -4時，△ADQ為等腰三角形