Question

    課題研究：現有邊長為120厘米的正方形鐵皮，準備將它設計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．初三（1）班數學興趣小組經討論得出結論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對水槽的橫截面進行了如下探索：

⑴方案①：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖1）．

若∠ACB=90°，設AC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米²，請你寫出y關于x的函數關系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？

 

方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖2）．

若∠ABC=120°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大小．

 

⑵假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供兩種方案，使你所設計的水槽的橫截面面積更大．畫出你設計的草圖，標上必要的數據（不要求寫出解答過程）．（習題改編）       

Answer 1

 (1)方案①

 

 當x=60時,y最大值=1800；       ……………4分

(2)方案②

過點B作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,

設AB=CD=xcm，梯形的面積為，

則BC=EF=（120－2x）cm，

AE=DF= x，BE=CF=  ，AD=120－x，

∴S= （240－3x）    

當x=40，S最大值= ， S最大值＞y最大值；……………4分

方案：①正八邊形一半，②正十邊形一半，③半圓等（作出兩個即可）……………4分