Question

如圖①，分別以AE、BE為邊在AB的同側作等邊△ADE和等邊△BCE，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N．
（1）判斷四邊形PQMN的形狀，并說明你的理由；
（2）如圖②，將△BCE繞著點E順時針旋轉，其它條件不變，判斷四邊形PQMN的形狀，并說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）易證∴△AEC≌△DEB得AC=DB，根據AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，可證PQ=MN=

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AC，PQ∥MN∥AC，四邊形PQMN為平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形可以判定為菱形；
（2）易證∴△AEC≌△DEB得AC=DB，根據AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，可證PQ=MN=

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2

AC，PQ∥MN∥AC，四邊形PQMN為平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形可以判定為菱形．

解答：解：
（1）四邊形PQMN為菱形．
證明：連接AC、BD，
∵AE=DE，∠AEC=∠DEB，CE=BE，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，
∴PQ=MN=

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2

AC，PQ∥MN∥AC，
∴四邊形PQMN為平行四邊形，
同理MQ=

1

2

BD，
∴MQ=PQ，
∴四邊形PQMN為菱形；

（2）四邊形PQMN仍為菱形．
證明：連接AC、BD，
∵AE=DE，∠AEC=∠DEB，CE=BE，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，
∴PQ=MN=

1

2

AC，PQ∥MN∥AC，
∴四邊形PQMN為平行四邊形，
同理MQ=

1

2

BD，
∴MQ=PQ，
∴四邊形PQMN為菱形．

點評：本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對應邊相等的性質，菱形的判定，平行四邊形的判定，本題中求證AC=BD是解題的關鍵．