Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與軸交于點、，與軸交于點，直線交二次函數圖象的對稱軸于點，若點C為的中點.

（1）求的值；

（2）若二次函數圖象上有一點，使得，求點的坐標；

（3）對于（2）中的點，在二次函數圖象上是否存在點，使得∽？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）設對稱軸與軸交于點，如圖1，易求出拋物線的對稱軸，可得OE的長，然后根據平行線分線段成比例定理可得OA的長，進而可得點A的坐標，再把點A的坐標代入拋物線解析式即可求出m的值；

（2）設點Q的橫坐標為n，當點在軸上方時，過點Q作QH⊥x軸于點H，利用可得關于n的方程，解方程即可求出n的值，進而可得點Q坐標；當點在軸下方時，注意到，所以點與點關于直線對稱，由此可得點Q坐標；

（3）當點為x軸上方的點時，若存在點P，可先求出直線BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直線BP的解析式，然后聯立直線BP和拋物線的解析式即可求出點P的坐標，再計算此時兩個三角形的兩組對應邊是否成比例即可判斷點P是否滿足條件；當點Q取另外一種情況的坐標時，再按照同樣的方法計算判斷即可.

解：（1）設拋物線的對稱軸與軸交于點，如圖1，∴軸，∴，

∵拋物線的對稱軸是直線，∴OE=1，∴，∴

∴將點代入函數表達式得：，∴；

（2）設，

①點在軸上方時，，如圖2，過點Q作QH⊥x軸于點H，∵，∴，解得：或（舍），∴；

②點在軸下方時，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴點與點關于直線對稱，∴；

（3）①當點為時，若存在點P，使∽，則∠PBQ=∠COA=90°，

由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，

聯立方程組：，解得：，，∴，

∵，，

∴，∴不存在；

②當點為時，如圖4，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，

聯立方程組：，解得：，，∴，

∵，，

∴，∴不存在.

綜上所述，不存在滿足條件的點，使∽.