Question

已知，如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，E、F分別是AB、AD的中點，連EF，將△FAE繞點F旋轉180°得△FDM．
（1）求證：EF⊥AC．
（2）若∠B=60°，求以E、M、C為頂點的三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）連BD，由四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又由E、F分別是AB、AD的中點，根據三角形中位線的性質，即可證得EF⊥AC；
（2）由旋轉的性質，即可得△FDM≌△FAE，又由菱形的性質，可證得∠MDF+∠FDC=180°，即M、D、C三點共線，然后作AH⊥DC于H，作EN⊥DC于N，利用三角函數的知識即可求得EN的值，則可求得以E、M、C為頂點的三角形的面積．

解答：解：（1）證明：連BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵E、F分別為AB、AD的中點，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF．

（2）依題意，△FAE繞F點旋轉180°得△FDM，
∴△FDM≌△FAE，
∴∠EAF=∠MDF．
又∵菱形ABCD中，AB∥DC，∠EAF+∠FDC=180°，
∴∠MDF+∠FDC=180°，
∴M、D、C三點共線，
作AH⊥DC于H，作EN⊥DC于N，
則EN=AH．
∵AD=2，∠ADC=∠B=60°，
∴AH=AD•sin60°=

3

=EN．
又∵MD=EA=

1

2

AB=1，DC=2，
∴MC=MD+CD=3，
∴S_△MEC=

1

2

MC•EN=

1

2

×3×

3

=

3

2

3

．

點評：此題考查了菱形的性質、旋轉的性質、三角形中位線的性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握菱形的性質，注意數形結合思想的應用．