Question

如圖，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=8，將矩形OABC沿直線AC折疊，使點B落在D處，AD交OC于E．
（1）求OE的長；
（2）求過O，D，C三點拋物線的解析式；
（3）若F為過O，D，C三點拋物線的頂點，一動點P從點A出發，沿射線AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，當運動時間t（秒）為何值時，直線PF把△FAC分成面積之比為1：3的兩部分．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
∴△CDE≌△AOE．
∴OE=DE．
∴OE²+OA²=（AD-DE）²，
即OE²+4²=（8-OE）²，
解之，得OE=3．

（2）EC=8-3=5．如圖，過D作DG⊥EC于G，
∴△DGE∽△CDE．
∴，．
∴DG=，EG=．
∴D（．
因O點為坐標原點，
故可設過O，C，D三點拋物線的解析式為y=ax²+bx．
∴
解之，得

（3）∵拋物線的對稱軸為x=4，
∴其頂點坐標為．
設直線AC的解析式為y=kx+b，
則解之，得
∴．
設直線FP交直線AC于H（m，m-4），過H作HM⊥OA于M．
∴△AMH∽△AOC．
∴HM：OC=AH：AC．
∵S_△FAH：S_△FHC=1：3或3：1，
∴AH：HC=1：3或3：1，
∴HM：OC=AH：AC=1：4或3：4．
∴HM=2或6，
即m=2或6．
∴H₁（2，-3），H₂（6，-1）．
直線FH₁的解析式為y=x-．
當y=-4時，x=．
直線FH₂的解析式為．
當y=-4時，x=．
∴當t=秒或秒時，
直線FP把△FAC分成面積之比為1：3的兩部分．
分析：（1）已知四邊形OABC是矩形，證明△CDE≌△AOE推出OE²+OA²=（AD-DE）²求出OE．
（2）本題要借助輔助線的幫助，證明△DGE≌△CDE．根據線段比求出DG，EG以及點D的坐標．列出解析式求出a，b的值．
（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，把頂點坐標代入求出k，b．證明△AMH∽△AOC推出m的值．
點評：本題考查的是相似三角形的判定以及二次函數的綜合運用．