Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，連接AD，EC．
（1）求證：△ADC≌△ECD；
（2）當點D在什么位置時，四邊形ADCE是矩形，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵?ABDE中，AB=DE，AB∥DE，
∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）．

（2）答：點D在BC的中點上時，四邊形ADCE是矩形，
解：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵D為邊長中點，
∴BD=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC=DE，
∴四邊形ADCE是矩形，
即點D在BC的中點上時，四邊形ADCE是矩形．
分析：（1）利用等邊對等角以及平行四邊形的性質可以證得∠EDC=∠ACB，則易證△ADC≌△ECD，利用全等三角形的對應邊相等即可證得；
（2）根據平行四邊形性質推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四邊形，根據AC=DE推出即可．
點評：本題考查了平行四邊形的性質以及等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質，矩形的判定的應用，證明兩線段相等常用的方法就是轉化為證兩三角形全等．