Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，經過點B和點D的兩個動圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點G、H、E、F，則EF+GH的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：如圖，設GH的中點為O，過O點作OM⊥AC，過B點作BH⊥AC，垂足分別為M、H，根據∠B=90°可知，點O為過B點的圓的圓心，OM為⊙O的半徑，BO+OM為直徑，可知BH＜BO+OH，故當BH為直徑時，直徑的值最小，即直徑GH也最小，同理可得EF的最小值．
解答：解：如圖，設GH的中點為O，過O點作OM⊥AC，過B點作BN⊥AC，垂足分別為M、N，
∵在Rt△ABC中，BC=8，AB=6，
∴AC==10，
由面積法可知，BN•AC=AB•BC，
解得BN=4.8，
∵∠ABC=90°，
∴點O為過B點的圓的圓心，OM為⊙O的半徑，BO+OM為直徑，
又∵BO+OM≥BN，
∴當BN為直徑時，直徑的值最小，
此時，直徑GH=BN=4.8，
同理可得：EF的最小值為4.8，
故EF+GH的最小值是9.6．
故答案為：9.6
點評：本題考查了切線的性質，垂線的性質及勾股定理的運用．關鍵是明確EF、GH為兩圓的直徑，根據題意確定直徑的最小值．