Question

（2013•老河口市模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，連接CC′交斜邊于點E，CC′的延長線交BB′于點F．
（1）證明：△AC C′∽△AB B′；
（2）設∠ABC=α，∠CAC′=β，試探索α、β滿足什么關系時AC=BF，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由旋轉的性質就可以得出AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′，再由相似三角形的判定方法直接得出結論；
（2）由（1）的結論可以得出∠ACE=∠ABF，還有∠AEC=∠BEF，只要由一邊對應BE、CE相等就可以利用三角形全等得出結論，就需要β=2α，然后順推就可以得出結論．

解答：（1）證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的
∴AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′
∴

AC

AB

=

AC′

AB′

∴△AC C′∽△AB B′；

（2）當β=2α時，AC=BF．
理由：解：∵AC=AC′
∴∠AC C′=∠A C′C=

1

2

（180°-∠C AC′）=90°-

1

2

β=90°-α，
∵∠BCE=∠ACB-∠A C C′=90°-（90°-α）=α，
∴∠BCE=∠ABC，
∴BE=CE．
∵△AC C′∽△AB B′，
∵∠ACE=∠ABF．
在△AEC和△FEB中，

∠ACE=∠ABF BE=CE ∠AEC=∠FEB

，
∴△AEC≌△FEB（ASA），
∴AC=BF．

點評：本題考查相似三角形的判定與性質的運用，旋轉的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，條件開放試題逆推的解決方法的運用．解答時得出△AEC≌△FEB是難點．