Question

如圖，已知△ABC的外心為0，過點B、C任意作一圓，分別與AB、AC的延長線交于點E、F．求證：AO⊥EF．

Answer 1

分析：首先作△ABC的外接圓⊙O，連接AO并延長分別交⊙O、EF于點D，G，連接CD，利用圓內接四邊形性質以及圓周角定理得出∠AEG+∠EAG=∠ACB+∠BCD=∠ACD進而得出點即可．

解答：解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接AO并延長分別交⊙O、EF于點D，G，連接CD，
∴∠AEG=∠ACB（圓內接四邊形性質），
∠BAD=∠BCD（同弧所對圓周角定理），
∠ACD=90°，
則∠AEG+∠EAG=∠ACB+∠BCD=∠ACD=90°，
故∠AGE=90°，
∴AG⊥EF，
即AO⊥EF．

點評：此題主要考查了三角形外接圓與外心的性質和圓內接四邊形的性質等知識，根據已知得出正確輔助線是解題關鍵．