Question

【題目】如圖1，點、分別是邊長為的等邊邊、上的動點，點從點向點運動，點從點向點運動，它們同時出發，且它們的速度都為，運動的時間為.

（1）當時，求的度數；

（2）當為何值時，是直角三角形？

（3）如圖2，若點、在運動到終點后繼續在射線、上運動，直線、交點為，則變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）不變;

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質可證得∠CMQ＝60°；

（2）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質可得到關于t的方程，則可求得t的值；

（3）同（1）可證得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性質可求得∠CMQ＝120°．

（1）∵在等邊三角形中，，

又由條件得，

∴，

∴，

∴.

（2）由題可知：，

①當時，

∵，

∴

∴，

得，；

②當時，

∵，

∴

∴，得，；

∴當第秒或第秒時，為直角三角形.

（3）不變.

∵在等邊三角形中，，，

∴，

又AP=BQ，

∴，

∴，

∴

又∵，

∴