Question

如圖，巳知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于    （結果保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：根據相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，再根據求出其邊長，可根據三角函數得出三角形面積．
解答：解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∴=，
∵AB=2AD，S_△ABC=，
∴S_△ADE=，
在△EAF中，作HF⊥AE交AE于H，
則∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設AH=HF=x，則EH=xtan30°=x．
又∵S_△ADE=，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面積為的等邊三角形，
∴×AB×CM=，
∠BCM=30°，
AB=2k，BM=k，CM=k，
∴k=1，AB=2，
∴AE=AB=1，
∴x+x=1，
解得x==．
∴S_△AEF=×1×=．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質和等邊三角形的性質等知識點，解得此題的關鍵是根據相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后問題可解．