Question

如圖，點I是△ABC的內心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC外接圓OO于點E，連接BE、CE．
（1）若AB=2CE，AD=6，求CD的長；
（2）求證：C、I兩個點在以點E為圓心，EB為半徑的圓上．

Answer 1

分析：（1）把已知的線段和要求的線段可以構造到兩個相似三角形中，根據相似三角形的對應邊的比相等進行求解；
（2）根據點和圓的位置關系與數量之間的聯系，只需證明IE=CE=EB．根據圓周角定理的推論以及三角形的外角的性質和三角形的內心是三角形的角平分線的交點即可證明．

解答：（1）解：∵∠BAD=∠ECD，∠ABD=∠CED，
∴△ABD∽△CED，
∴

CD

AD

=

CE

AB

，
∴CD=3．

（2）證明：連接IB．
∵點I是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴弧BE=弧CE，則BE=CE，
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠IBD+∠CAD=∠IBD+∠CBE=∠IBE，
∴IE=BE，
即C、I兩個點在以點E為圓心，EB為半徑的圓上．

點評：綜合運用了圓周角定理的推論、三角形的內心的概念、相似三角形的判定和性質．掌握用數量關系判斷點和圓的位置關系的方法．