Question

如圖，在矩形ABCD中，點M是AD的中點，AD=，CD=，直角∠PME繞點M進行旋轉，其兩邊分別和BC、CD交于點P和點E，連接PE交MC于點Q．
（1）判斷線段MP、ME的數量關系，并進行證明；
（2）動點P、E分別在線段BC和CD上運動時，設PC=x，MQ=y，求y與x的函數關系式；
（3）在（2）中，當y取最小值時，判斷PE與BM的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點M作MF⊥BC于點F，先判斷出四邊形CDMF是正方形，根據正方形的性質求出MD=MF，∠DMF=90°，再根據同角的余角相等求出∠DME=∠FMP，然后利用“角邊角”證明△MFP和△MDE全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）利用勾股定理列式求出MC的長，同理求出MB，然后判斷出△MBC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠MBC=∠MCB=45°，再表示出QC，根據旋轉的性質求出BP=EC，然后根據S_△PCQ+S_△CEQ=S_△PCE列式整理即可得解；
（3）利用二次函數的最值問題求出y取最小值時的x的值2，從而判斷出點P、Q分別為BC、CM的中點，再根據三角形的中位線定理解答即可．
解答：解：（1）MP=ME．
理由如下：過點M作MF⊥BC于點F，
在矩形ABCD中，點M是AD的中點，AD=4，CD=2，
∴四邊形CDMF是正方形，
∴MD=MF，∠DMF=90°，
∵∠PME=90°，
∴∠DME=∠FMP，
∵在△MFP和△MDE中，
，
∴△MFP≌△MDE（ASA），
∴MP=ME；

（2）在△MDC中，MC²=MD²+CD²=（2）²+（2）²=16，
∴MC=4，
同理MB=4，
又∵BC=4，
∴△MBC是等腰直角三角形，∠MBC=∠MCB=45°，
依題意，得QC=4-y，
由旋轉的性質可知，BP=EC=4-x，
在△PEC中，由S_△PCQ+S_△CEQ=S_△PCE可得，
x•（4-y）sin45°+（4-x）•（4-y）sin45°=x•（4-x），
整理得，y=x²-x+4；

（3）∵y=x²-x+4=（x-2）²+2，
∴當x=2時，y有最小值2，
此時，點P、Q分別為BC、CM的中點，
∴PQ為△BCM的中位線，
∴PQ∥BM，
即：PE∥BM．
點評：本題是四邊形綜合題型，主要考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質，二次函數的最值問題，作輔助線把矩形分成兩個正方形并構造出全等三角形是解題的關鍵．