Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB＝12 cm，C為AB延長線上一點，CD與⊙O相切于點D，過點B作弦BE∥CD，連接DE．

（1）求證：點D為的中點；

（2）若∠C＝∠E，求四邊形BCDE的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）連接OD，由CD與圓O切線，得到OD與CD垂直，根據BE與DC平行，得到OD與BE垂直，進而得到D為弧BE的中點即可；

（2）連接OE，由BE與CD平行，得到一對同位角相等，再由已知角相等，等量代換得到一對內錯角相等，進而得到BC與DE平行，即四邊形BCDE為平行四邊形，求出面積即可．

（1）證明：連接OD交BE于F，

∵CD與⊙O相切于點D，∴OD⊥DC，

∵BE∥CD，∴∠OFB＝∠ODC=90°，

∴OD⊥BE，∴弧BD =弧DE，∴點D為弧BE的中點．

（2）解：連接OE．∵BE∥CD，∴∠C＝∠ABE．

∵∠C＝∠BED，∴∠ABE＝∠BED，∴DE∥CB，

∴四邊形BCDE是平行四邊形．

∵∠ABE＝∠BED，∴∠AOE＝∠BOD，∴弧AE＝弧BD．

∵弧BD＝弧DE，∴弧BD＝弧DE＝弧AE，

∴∠BOD＝∠DOE＝∠AOE＝60°．∴△DOE為等邊三角形．

又∵OD⊥BE，∴DF＝OF＝OD＝3，BF＝EF．

在Rt△OEF中，EF＝＝＝，BE＝．

∴四邊形BCDE的面積＝＝＝．