Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據切線的性質得到OC與CD垂直，進而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC為角平分線，根據角平分線定義得到兩個角相等，又OA=OC，根據等邊對等角得到又得到另兩個角相等，等量代換后得到∠DAC=∠OCA，根據等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，從而得到∠ADC為直角，得證；
（2）連接CB，由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB與∠ADC相等都為直角，又根據AC為角平分線得到一對角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形ADC與三角形ABC相似，由相似得比例列出關系式，把AC和AD的長即可求出AB的長．
解答：解：（1）連接OC，
∵直線CD與⊙O相切于點C，
∴OC⊥CD．
∴∠OCA+∠DCA=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
則∠ADC=90°，
即AD⊥DC；

（2）連接BC．
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即，
則．
點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．同時要求學生掌握直徑所對的圓周角為直角．圓與相似三角形及三角函數相融合的解答題、與切線的性質和判定有關的證明題是近幾年中考的熱點試題．