Question

（1）計算：(

1

2

)-1-(2009-

3

)0+4sin30°-|-2|；
（2）先化簡，再求值：

1

2x

-

1

x+y

(x2-y2+

x+y

2x

)，其中x=

2

，y=3；
（3）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD與AE、AF分別相交于G、H．①求證：△ABE∽△ADF；②若AG=AH，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：（1）此題涉及了負整數指數冪、零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值4個考點，需要針對各考點分別進行計算，然后再按實數的運算規則求得結果．
（2）觀察原式，可先運用乘法分配律對第二項進行化簡，然后再進行分式的加減運算，最后代值計算即可．
（3）①由于平行四邊形的對角相等，得∠ABE=∠ADF，而∠AEB、∠AFD都是直角，即可判定所求的兩個三角形相似；
②由①的相似三角形可證得∠BAG=∠HAD，易證得∠AGB=∠AHD，聯立已知的AG=AH，即可證得△AGB≌△AHD，即可得到AB=AD，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得到所要求證的結論．

解答：（1）解：原式=2-1+4×

1

2

-2=1．

（2）解：原式=

1

2x

-

1

x+y

(x+y)(x-y)•

x+y

2x

=

1

2x

-(x-y)-

1

2x

=-（x-y）
=y-x；
把x=

2

，y=3代入上式，得原式=3-

2

．

（3）證明：①∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABE=∠ADF；
∴△ABE∽△ADF．
②∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH；
∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，
從而∠AGB=∠AHD，
∴△ABG≌△ADH，
∴AB=AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評：此題考查了實數的運算、二次根式的化簡求值、分式的混合運算，平行四邊形的性質、菱形的判定以及相似三角形、全等三角形的判定和性質，難度適中．