Question

如圖，△ABC是一個直角三角形，其中∠C=90゜，∠A=30°，BC=6；O為AB上一點，且OB=3，⊙O是一個以O為圓心、OB為半徑的圓；現有另一半徑為的⊙D以每秒為1的速度沿B→A→C→B運動，設時間為t，當⊙D與⊙O外切時，t的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：分別從①在B→A的過程中，②在A→C的過程中，③當C與D重合時去分析求解，利用含30°角的直角三角形的性質與圓與圓的外切的性質，即可求得答案．
解答：解：①在B→A的過程中，當OD=3+3-3=3時，⊙D與⊙O外切，此時BD=OB+OD=3+3，
即t=3+3；
②如圖1，在A→C的過程中，過點C作CH⊥AB于H，連接OD，OC，
∵∠C=90゜，∠A=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12，AC==6，
∴∠B=60°，
∴BH=BC•cos∠B=6×=3，CH=BC•sin∠B=3，
∵OB=3，
∴O與H重合，
即OC⊥AB，OC=3，
∴∠BOC=90°-∠B=60°，
∵OD=3，
∴OC=OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴CD=OD=3，
∴AB+AD=AB+AC-CD=12+6-3=12+3，
即t=12+3；
③∵由②得，OC=3=OD，
∴當C與D重合時，⊙D與⊙O外切；
即t=12+6；
綜上，當⊙D與⊙O外切時，t的值為3+3或12+3或12+6．
故答案為：3+3或12+3或12+6．
點評：此題考查了圓與圓的位置關系，直角三角形的性質以及三角函數的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．