Question

德國著名數學家高斯（Gauss）在上小學時就已求出計算公式1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
這個公式可以用一種叫做“交叉消項求和法”的方法推導如下：
在“平方公式”（a+b）²=a²+2ab+b²中，
取b=1，得2a+1=（a+1）²-a²．…（*）
在（*）中分別取a=1，2，3，…，n，再左右分別相加，得2（1+2+3+…+n）+n×1=（2²-1²）+（3²-2²）+（4²-3²）+…+[n²-（n-1）²]+[（n+1）²-n²]=（n+1）²-1=n²+2n．
即1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．現在請你利用“立方公式”（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³來推導1²+2²+3²+…+n²的計算公式，要求寫出推算過程．注：可以利用已推導的公式1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．

Answer 1

分析：先在立方公式中，取b=1，那么（a+1）³-a³=3a²+3a+1，再讓a=1，2，3，…，n-1，n得2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…，（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，再把這些式子相加可得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，從而可證1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3-1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

解答：解：在立方公式中，取b=1得（a+1）³-a³=3a²+3a+1，
依次取a=1，2，3，…，n-1，n得
2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，
將以上n個式子相加，得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，
∴1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3-1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

點評：本題考查了立方公式．在證明過程中可仿照平方公式的證明方法，注意先對立方公式進行變形．